Диференціальні рівняння вищих порядків
Основні положення
У загальному вигляді диференціальне рівняння $ n $ -го порядку записується рівнянням в неявній формі $ F \ left (x, y, y ', \ ldots, y ^ {\ left (n \ right)} \ right) = 0 $, яке пов'язує аргумент, невідому функцію , А також її похідні з першого по $ n $ -й порядок включно.
Завдання Коші для диференціального рівняння $ y ^ {\ left (n \ right)} = f \ left (x, y, y ', \ ldots, y ^ {\ left (n-1 \ right)} \ right) $ є завданням пошуку рішення $ y = y \ left (x \ right) $, що задовольняє початковим умовам $ y \ left (x_ {0} \ right) = y_ {0} $, $ y '\ left (x_ {0} \ right ) = y '_ {0} $, \ dots, $ y ^ {\ left (n-1 \ right)} \ left (x_ {0} \ right) = y_ {0} ^ {\ left (n-1 \ right)} $.
Загальне рішення рівняння $ y ^ {\ left (n \ right)} = f \ left (x, y, y ', \ ldots, y ^ {\ left (n-1 \ right)} \ right) $ є сімейством рішень цього рівняння, залежне від $ n $ довільних постійних, тобто $ y = \ phi \ left (x, C_ {1}, C_ {2}, \ ldots, C_ {n} \ right) $.
Нічого не зрозуміло?
Спробуй звернутися за допомогою до викладачів
Рішення $ y = y \ left (x \ right) $ рівняння $ y ^ {\ left (n \ right)} = f \ left (x, y, y ', \ ldots, y ^ {\ left (n-1 \ right)} \ right) $, яке можна отримати з загального при певних значеннях довільних постійних, називається приватним рішенням. Рішення, яке неможливо отримати з загального ні при яких значеннях довільних постійних, називається особливим рішенням.
Найпростішими представниками диференціальних рівнянь вищих порядків є диференціальні рівняння другого порядку. Проте, з їх допомогою можна виявити всі основні властивості і методи розв'язання диференціальних рівнянь вищих порядків.
Диференціальне рівняння другого порядку найчастіше представляють одним з двох наступних способів:
- в неявній формі $ F \ left (x, y, y ', y' '\ right) = 0 $;
- в формі $ y '' = f \ left (x, y, y '\ right) $, дозволеної щодо другої похідної.
Загальне рішення диференціального рівняння другого порядку залежить від аргументу $ x $, а також від двох довільних постійних $ C_ {1} $ і $ C_ {2} $, і може бути записано у вигляді $ y = \ phi \ left (x, C_ {1}, C_ {2} \ right) $.
Рішення $ y = y \ left (x \ right) $, яке може бути отримано із загального при певних значеннях довільних постійних $ C_ {1} $ і $ C_ {2} $, є приватним. Якщо існує рішення $ y = y \ left (x \ right) $, яке не може бути отримано із загального, то воно є особливим.
Для знаходження приватного рішення із загального використовують початкові умови: $ y = y_ {0} $ при $ x = x_ {0} $, $ y '= y' _ {0} $ при $ x = x_ {0} $. Таке завдання називається завданням Коші для диференціального рівняння другого порядку.
Різновиди диференціальних рівнянь другого порядку
А) Найпростішим диференціальним рівнянням другого порядку є рівняння виду $ y '' = f \ left (x \ right) $, в якому права частина не залежить від невідомої функції $ y $ і її похідної $ y '$, а може залежати тільки від $ x. $ Вирішується це рівняння послідовним інтегруванням.
Б) Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають зниження порядку, - це такі рівняння, які за допомогою заміни змінних можуть бути перетворені в диференціальні рівняння першого порядку. Після цього до отриманих диференціальних рівнянь першого порядку можуть бути застосовані звичайні методи вирішення. Існує два випадки.
випадок 1
Диференціальне рівняння другого порядку $ y '' = f \ left (x, y '\ right) $, що не містить невідомої функції $ y $. Для його вирішення застосовують заміну $ y '= z \ left (x \ right) $.
випадок 2
Диференціальне рівняння другого порядку $ y '' = f \ left (y, y '\ right) $, що не містить незалежної змінної $ x $. Для його вирішення застосовують заміну $ y '= z \ left (y \ right) $.
Диференціальне рівняння виду $ y '' + p \ cdot y '+ q \ cdot y = f \ left (x \ right) $, де $ y $ - невідома функція, $ p $ і $ q $ - дійсні числа, а $ f \ left (x \ right) $ - безперервна функція, є лінійним диференціальним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами.
Якщо права частина рівняння тотожно дорівнює нулю, тобто $ f \ left (x \ right) \ equiv 0 $, то рівняння називається лінійним однорідним.
Якщо права частина рівняння тотожне не дорівнює нулю, тобто $ f \ left (x \ right) \ ne 0 $, то рівняння називається лінійним неоднорідним.
В) Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами $ p $ і $ q $ має вигляд $ y '' + p \ cdot y '+ q \ cdot y = 0 $. Вирішуючи таке диференціальне рівняння, з ним пов'язують характеристичне квадратне рівняння $ k ^ {2} + p \ cdot k + q = 0 $. Вид рішення залежить від того, які властивості коренів цього квадратного рівняння.
Г) Лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами $ p $ і $ q $ має вигляд $ y '' + p \ cdot y '+ q \ cdot y = f \ left (x \ right) $.
Загальне рішення неоднорідного рівняння дорівнює сумі загального рішення відповідного однорідного рівняння і приватного рішення неоднорідного рівняння.
Вид приватного рішення залежить від того, які властивості правій частині $ f \ left (x \ right) $ цього рівняння.
випадок 3
Права частина лінійного неоднорідного диференціального має вигляд $ f \ left (x \ right) = P_ {n} \ left (x \ right) $, тобто являє собою многочлен ступеня $ n $. В цьому випадку приватне рішення має вигляд $ U = Q_ {n} \ left (x \ right) \ cdot x ^ {r} $, де $ Q_ {n} \ left (x \ right) $ - інший многочлен тієї ж ступеня, що і $ P_ {n} \ left (x \ right) $, а $ r $ - кількість коренів характеристичного рівняння, які дорівнюють нулю.
випадок 4
Права частина лінійного неоднорідного диференціального має вигляд $ f \ left (x \ right) = e ^ {\ alpha \ cdot x} \ cdot P_ {n} \ left (x \ right) $. В цьому випадку приватне рішення має вигляд $ U = Q_ {n} \ left (x \ right) \ cdot x ^ {r} \ cdot e ^ {\ alpha \ cdot x} $, де $ Q_ {n} \ left ( x \ right) $ - інший многочлен тій же мірі, що і $ P_ {n} \ left (x \ right) $, а $ r $ - кількість коренів характеристичного рівняння, які дорівнюють $ \ alpha $.
випадок 5
Права частина лінійного неоднорідного диференціального має вигляд $ f \ left (x \ right) = a \ cdot \ cos \ beta x + b \ cdot \ sin \ beta x $. В цьому випадку приватне рішення має вигляд $ U = \ left (A \ cdot \ cos \ beta x + B \ cdot \ sin \ beta x \ right) \ cdot x ^ {r} $, де $ r $ - кількість коренів характеристичного рівняння, які дорівнюють $ i \ cdot \ beta $.
випадок 6
Права частина лінійного неоднорідного диференціального має вигляд $ f \ left (x \ right) = e ^ {\ alpha \ cdot x} \ cdot \ left [P_ {n} \ left (x \ right) \ cdot \ cos \ beta x + P_ {m} \ left (x \ right) \ cdot \ sin \ beta x \ right] $. В цьому випадку приватне рішення має вигляд $ U = e ^ {\ alpha \ cdot x} \ cdot \ left [Q_ {s} \ left (x \ right) \ cdot \ cos \ beta x + R_ {s} \ left ( x \ right) \ cdot \ sin \ beta x \ right] \ cdot x ^ {r} $, де число $ s $ - максимальне з двох чисел $ n $ і $ m $, $ r $ - кількість коренів характеристичного рівняння, які дорівнюють $ \ alpha + i \ cdot \ beta $.
Д) Диференціальне рівняння другого порядку, що має вигляд $ y '' + P \ left (x \ right) \ cdot y '+ Q \ left (x \ right) \ cdot y = f \ left (x \ right) $, де коефіцієнти $ P \ left (x \ right) $, $ Q \ left (x \ right) $, а також права частина $ f \ left (x \ right) $ являють собою безперервні функції, є лінійним диференціальним рівнянням другого порядку зі змінними коефіцієнтами.
Рішення лінійного однорідного диференціального рівняння зі змінними коефіцієнтами $ y '' + P \ left (x \ right) \ cdot y '+ Q \ left (x \ right) \ cdot y = 0 $ базується на попередньому знанні якогось одного його приватного рішення. Точні методи для пошуку такого приватного рішення відсутні, але воно може бути відомим або з умови задачі, або воно може бути підібрано з фізичних міркувань або з позицій здорового глузду, і, врешті-решт, його можна просто вгадати.
Рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння зі змінними коефіцієнтами $ y '' + P \ left (x \ right) \ cdot y '+ Q \ left (x \ right) \ cdot y = f \ left (x \ right) $ базується на знанні спільного рішення відповідного однорідного диференціального рівняння.
Нічого не зрозуміло?