Математика як окуляри - робить світ чіткіше

1. Світ, заснований на доказах
2. Віра і формули
3. неминучі випадковості

Розмовляти з математиками про зміст їх роботи - завдання невдячне. Навіть якщо сам зрозумієш (що навряд чи) сенс словосполучень «трикутні редукції двумерізованной ланцюжка Тода» або «дискретні аналоги метрик Дарбу - Єгорова», то ніколи не зумієш пояснити це доступною мовою іншим. Зате з математиками можна поговорити про все інше: прогрес, совісті, випадковості. Вони щось на зразок сучасних мудреців. Нашим співрозмовником був Ігор Крічевер - один з найавторитетніших російських математиків.

Ігор Крічевер. Народився в 1950 році. Навчався в Таганрозі, потім вступив до школи-інтернат ім. А.Н. Колмогорова при МДУ. Далі - мехмат МДУ ім. М.В. Ломоносова, аспірантура, робота в Росії і США. Зараз Ігор Крічевер очолює Центр перспективних досліджень Сколтеха; є професором Вищої школи економіки і Колумбійського університету (США), провідним науковим співробітником Інституту теоретичної фізики ім. Л.Д. Ландау РАН, головним науковим співробітником Інституту проблем передачі інформації їм. А.А. Харкевича РАН.

Світ, заснований на доказах

[Кот Шредінгера] Мене завжди цікавило: як математики приймають рішення в повсякденному житті? З ким одружуватися, куди поїхати відпочивати, що купити на вечерю, чи погоджуватися на зустріч з журналістом? За ідеєю, такі рішення вимагають побудови складних багатокритеріальних моделей, над якими суперкомп'ютери будуть працювати не один день. Як в таких випадках робите ви?

[Ігор Крічевер] Як я приймаю рішення? Так як будь-який інший чоловік! Я завжди вважав, що в житті треба бути нормальною людиною. І заняття математикою не повинні цьому заважати.

Але це моя особиста особливість. Багато знайомих математики болісно приймають будь-яке рішення. А потім болісно шкодують про нього. У мене все якось легше. Пам'ятаю, в дитинстві батьки читали мені віршик Маршака про пташку, яка потрапила в мережі мисливцеві. Вона каже йому: я маленька, м'яса в мені на один ковток, відпусти - за це я дам тобі цінні поради. І був серед них такий: «Жаліти про те не треба, // Чого вже більше немає». Я намагаюся дотримуватися цього правила і думати про те, що попереду, а не про те, що упущено. Але навряд чи це пов'язано з тим, що у мене мізки математика.

[КШ] Але математика все-таки змінює мислення?

[ІК] Математика вчить мислити. Вчить критично сприймати будь-яке висловлювання, аналізувати, з чого воно складається, як було отримано і що з нього випливає. Проблема в тому, що люди не завжди розуміють значення слова «довести». Це видно за повідомленнями, якими сповнені наші засоби масової інформації. Або візьмемо класичне висловлювання Леніна: «Вчення Маркса всесильне, тому що воно вірне». З точки зору математика це порочне коло - такого твердження не можна довіряти.

Математика вчить нічого не приймати на віру. Так, того ж вчить і біологія, і фізика, і хімія. Але там це виражено в меншій мірі. Експеримент можна по-різному трактувати, а в математиці немає «брудних» тверджень, якими грішать інші науки.

Я багато працював в США, в Колумбійському університеті. Там є початкові курси математики, на яких студентів вчать вважати: дають формули і пропонують з їх допомогою щось знайти. Потім починається більш просунутий курс. Як говориться в анотації, Proof based course, тобто курс, в якому пояснюється, що таке доказ. Це, знаєте, велике мистецтво - розкласти твердження на ланцюжок елементів, які або вже доведені, або безпосередньо виводяться з доведеного. До цього треба довго і важко йти, особливо якщо починаєш осягати це мистецтво дорослим, а не в шкільні роки.

[КШ] У російських школах часто використовують слово «гуманітарій». Так називають учнів, які начебто недурні, але відносини з точними науками у них не складаються. Може, математика дійсно комусь не потрібна?

[ІК] Математика як вміння складати числа, може бути, і не потрібна. Так, в соціології чи психології використовується статистика, але це все-таки трохи інше ... При цьому математика як наука, що розвиває мислення, на мій погляд, потрібна всім.

Наведу особистий приклад. Мій онук закінчив математичний клас 57-ї школи і зараз вчиться на факультеті лінгвістики Вищої школи економіки. Він вважає, що математика йому у великій пригоді, - і зовсім не тому, що він будує моделі, щось обчислює. Він навчився логічно міркувати, виявляти закономірності, структурувати. Ось що найважливіше, а не вміння рахувати. Нудні цифри - це не математика.

Скажу ще раз: мова йде про спосіб мислення, заснованому на доказах. Це схоже на хороші окуляри: хочете бачити світ чіткіше, щоб картинка не розпливалася, - вчіть математику.

Віра і формули

[КШ] Ось ви повторюєте, як важливо спиратися на строгі докази. Але чи не заважає математичне мислення робити моральний вибір? Припустимо, треба підняти руку на зборах і виступити проти неправильного з моральної точки зору рішення. Але людина цього не робить: недостатньо, так би мовити, логічних підстав ...

[ІК] Думаю, говорити про математичних доказах в цьому випадку не доводиться. Це питання громадянської мужності. Ти відчуваєш, що це правильно, а то неправильно. Чисто по-людськи відчуваєш.

[КШ] Тобто моральний вибір не потребує математичному обгрунтуванні?

[ІК] Напевно, немає. Мені часом здається, що закони світобудови зашиті десь всередині нас. Здавалося б, математика розвивається по суто внутрішнім законам, грунтуючись на власних правилах і аксіомах. Ми не використовуємо експерименти або спостереження - тільки логіку, такі правила гри. Але в підсумку з'ясовується, що загадковим чином математика описує реальний світ. Тобто дуже-дуже глибоко в нашому мисленні заховані закони природи. Як? Ким? Чому? Для мене це загадка, на яку я не знаходжу відповіді. Тут починаєш навіть про божественне думати - хто-то в нас це заклав. Напевно, закони моральності з тієї ж категорії: вони десь всередині нас. Ти віриш у щось і поводишся згідно своїм уявленням, по совісті. Принаймні я так це розумію.

[КШ] Хіба віра і необхідність докази суперечать один одному?

[ІК] Так, суперечать. Але я в роботі часто керуюся принципом: це має бути правильно, тому що красиво. Це формалізації поняття - віра в те, що є щось, гармонія, яка визначає наш світ. Тільки не треба плутати її з наївними уявленнями про божественне диво. Швидше це віра в правильність світу. Вона в мене є.

[КШ] Тобто ви вірите, що світ влаштований правильно? Або знаєте це?

[ІК] Тут не зовсім коректно говорити «вірю» або «знаю». Доречніше - «я вважаю». Так, я вважаю, що закони природи розумні. При цьому наш соціальний світ здається мені глибоко неправильним, він рухається не туди. Все змінюється на гірше. Втім, можливо, це лише вікове бурчання.

[КШ] Що ж в нашому світі не так? Наведіть приклад.

[ІК] Мені здається неправильним, що мислення людей зсувається в бік кліповим, стає якимось рваним. Особливо це по дітях видно. Їм все складніше залишатися наодинці з собою. У людей все менше часу, щоб просто сісти і подумати. Це не правильно. Але я розумію, що це неминуче.

[КШ] Прогрес йде не туди?

[ІК] Не зовсім так. Прогрес йде туди, куди йде, це природний процес. Не можна сказати, правильний він чи ні. Але мені це не подобається. Особисто мені. Ось всі говорять, що книжки вимруть - їх замінить щось інше. Мені це не подобається. Однак сперечатися з цим як проти вітру плювати. Все одно так буде.

неминучі випадковості

[КШ] Спочатку головною темою інтерв'ю ми хотіли зробити співвідношення випадковості і неминучості в устрої світу. Наприклад, доля кота Шредінгера, як відомо, визначається абсолютно випадковим поведінкою частки. А метелик Лоренца махає крилом в Бразилії і тим самим викликає ураган в Техасі - історія про те, що між дуже різними явищами є причинно-наслідковий зв'язок, нехай навіть дуже складна. Як, на ваш погляд, співвідносяться випадковість і неминучість?

Ефект метелика - термін, що позначає властивість складних систем: незначний вплив може мати великі і непередбачувані наслідки. Це поняття ввів в обіг американський математик і метеоролог Едвард Лоренц. Його робота (1972) називалася «Прогнозування: помах крил метелика в Бразилії викличе торнадо в Техасі?».

[ІК] Знаєте, ще зовсім юним, захопленим, тільки що захистив кандидатом я був, пам'ятається, трохи збентежений розмовою з великими математиками, що трапилося на одній з конференцій. Обговорювалося питання, в якій мірі математика є творчістю. Є поняття «творчі професії» - це поети, художники, режисери. А як з вченими?

Начебто, коли ти пропонуєш нове математичне рішення, ти твориш. Але, з іншого боку, ти просто відкриваєш те, що є. На конференції мої великі колеги говорили, що, якщо поет не напише рядок, вона вже ніколи не з'явиться - не склалося у інших. А якщо ти не доведеш теорему, рано чи пізно її доведе будь-хто інший. Адже без неї не можна рухатися далі. Це в якомусь сенсі неминучість, зумовленість у розвитку математики. Тут немає нічого випадкового.

Але випадковість присутній в контексті часу. Якщо сьогодні відкриття не було зроблено, це станеться пізніше. Може, через п'ять років, або через п'ятдесят, чи навіть сто п'ятдесят. Розвиток науки зумовлено, але шлях, по якому вона рухається, в значній мірі випадковий.

[КШ] Коли ви будуєте математичну модель фізичного процесу, наскільки значущий для вас фактор випадковості?

[ІК] Все залежить від моделі, від необхідного ступеня спрощення реальних процесів. Припустимо, ми підкидаємо монетку. Насправді випадання орла чи решки завжди зумовлене: воно залежить він початкового положення тіла, сили, яка додається вашим пальцем, вітру і багатьох інших факторів. Але в більшості випадків ми будемо вважати, що та чи інша сторона випала абсолютно випадково. Так, це деяке наближення до реального процесу. Іноді воно буває досить точним, іноді немає.

[КШ] Як співвідносяться випадковість і неминучість у вашій біографії?

[ІК] Моє життя досить нудно-пряма. Після того як я закінчив школу-інтернат імені Колмогорова при МДУ, все складалося щодо зрозуміло і однозначно. Тому, напевно, я не схильний перебільшувати значення випадку в моєму житті. Мені здається, що все було логічно, випливало одне з іншого. Випадковість - це дрібні брижі на загальному тлі. Хоча, може бути, я не маю рації.

[КШ] А якби ви не потрапили в цей інтернат?

[ІК] Не знаю ... Я вчився в одній з кращих шкіл Таганрога - школі імені Чехова. Вчителька математики звела мене зі своїм колишнім учнем, який надійшов в колмогоровской інтернат. Можливо, якби цього не сталося, я б не потрапив тоді в Москву і моє життя склалося по-іншому. Але це дуже важко довести. Думаю, я все одно став би математиком, тільки шлях був би довше.

[КШ] Але ж ви могли стати вченим в якійсь іншій області, наприклад у фізиці. Власне, в довідниках про вас пишуть: «професійні інтереси - математична фізика».

Сергій Новіков - радянський і російський математик, академік РАН, доктор фізико-математичних наук, володар медалі Філдса.

[ІК] Так, за нинішньою своєю спеціальністю я математичний фізик. Але насправді я, звичайно ж, математик. І за смаком до певних завдань, і по вихованню. Просто фізика завжди була для мене джерелом завдань.

Колись ми з моїм науковим керівником, а потім колегою і другом Сергієм Петровичем Новіковим займалися проблемою квантування бозонів струни. І часто говорили: невідомо, що придбає в результаті фізична теорія, а базиси Лорана - Фур'є, які ми придумали для довільних алгебраїчних кривих, залишаться в математиці назавжди.

При цьому я належу до тієї частини математиків, яка вважає, що завдання повинні надходити із зовнішнього світу. Як правило, вони і самі цікаві. Недарма в останні 20-30 років найбільш помітні досягнення в математиці пов'язані з ідеями, які прийшли з фізики.

Для мене зовнішні запити були скоріше імпульсом до роботи. Звичайно, я отримував естетичне задоволення від вирішених завдань з фізики твердого тіла. Але все-таки це вторинне. В першу чергу я математик.

Опубліковано в журналі «Кот Шредінгера» №1-2 (39-40) за січень-лютий 2018 р

Підписатися на «Кота Шредінгера»