Велика теорема Ферма

  1. формулювання
  2. Історія
  3. Деякі варіації і узагальнення
  4. «Ферматістов»
  5. література

Велика теорема Ферма (або Остання теорема Ферма) - одна з найпопулярніших теорем математики. Її умова формулюється просто, на «шкільному» арифметичному рівні, однак доказ теореми шукали багато математики більше трьохсот років. Доведено в 1994 році Ендрю Уайлсом з колегами (доказ опубліковано в 1995 році ).

формулювання

теорема стверджує [1] , Що для будь-якого натурального числа n> 2 {\ displaystyle n> 2} теорема стверджує [1] , Що для будь-якого натурального числа n> 2 {\ displaystyle n> 2} рівняння: рівняння:

a n + b n = c n {\ displaystyle a ^ {n} + b ^ {n} = c ^ {n}} a n + b n = c n {\ displaystyle a ^ {n} + b ^ {n} = c ^ {n}}

не має рішень в цілих ненульових числах a, b, c {\ displaystyle a, b, c} не має рішень в цілих ненульових числах a, b, c {\ displaystyle a, b, c} .

Зустрічається більш вузький варіант формулювання, який стверджує, що це рівняння не має натуральних рішень. Однак очевидно, що якщо існує рішення для цілих чисел, то існує і рішення в натуральних числах. Справді, нехай a, b, c {\ displaystyle a, b, c} Зустрічається більш вузький варіант формулювання, який стверджує, що це рівняння не має натуральних рішень - цілі числа, що дають рішення рівняння Ферма. Якщо n {\ displaystyle n} парно, то | a | , | b | , | c | {\ Displaystyle | a |, | b |, | c |} теж будуть рішенням, а якщо непарній, то перенесемо всі ступені негативних значень в іншу частину рівняння, змінивши знак. Наприклад, якби існувало рішення рівняння a 3 + b 3 = c 3 {\ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = c ^ {3}} і при цьому a {\ displaystyle a} негативно, а інші позитивні, то b 3 = c 3 + | a | 3 {\ displaystyle b ^ {3} = c ^ {3} + | a | ^ {3}} , І отримуємо натуральні рішення c, | a | , B. {\ Displaystyle c, | a |, b.} Тому обидві формулювання еквівалентні.

Узагальненнями затвердження теореми Ферма є спростована гіпотеза Ейлера і відкрита гіпотеза Ландера - Паркина - Селфрідж .

Історія

Для випадку n = 3 {\ displaystyle n = 3} Для випадку n = 3 {\ displaystyle n = 3} цю теорему в X столітті намагався довести ал-Ходжанді , Але його доказ не збереглося цю теорему в X столітті намагався довести ал-Ходжанді , Але його доказ не збереглося.

У загальному вигляді теорема була сформульована П'єром Ферма в 1637 році на полях " арифметики » Діофанта . Справа в тому, що Ферма робив свої позначки на полях читаються математичних трактатів і там же формулював прийшли на розум завдання і теореми. Теорему, про яку ведеться мова, він записав з припискою, що знайдене ним дотепне доведення цієї теореми надто довге, щоб його можна було помістити на полях книги:

Ферма призводить тільки доказ, як рішення задачі, зводиться до четвертого ступеня теореми n = 4 {\ displaystyle n = 4} Ферма призводить тільки доказ, як рішення задачі, зводиться до четвертого ступеня теореми n = 4 {\ displaystyle n = 4} , В 45-му коментарі до «Арифметиці» Діофанта [2] і в листі до Каркаві (серпень 1659 роки) [3] , В 45-му коментарі до «Арифметиці» Діофанта [2] і в листі до Каркаві (серпень 1659 роки) [3] . Крім цього, Ферма включив випадок n = 3 {\ displaystyle n = 3} в список завдань, що вирішуються методом нескінченного спуску [3] .

Ейлер в 1770 році довів теорему [4] для випадку n = 3 {\ displaystyle n = 3} Ейлер в 1770 році довів теорему [4] для випадку n = 3 {\ displaystyle n = 3} , Діріхле і Лежандр в 1825 - для n = 5 {\ displaystyle n = 5} , Ламі - для n = 7 {\ displaystyle n = 7} , Діріхле і Лежандр в 1825 - для n = 5 {\ displaystyle n = 5} , Ламі - для n = 7 {\ displaystyle n = 7} . Куммер показав, що теорема вірна для всіх простих n {\ displaystyle n} , Менших 100, за можливим винятком так званих іррегулярних простих 37, 59, 67.

Над повним доказом Великої теореми працювало чимало видатних математиків і безліч дилетантів-аматорів; вважається, що теорема стоїть на першому місці за кількістю некоректних «доказів». Проте ці зусилля призвели до отримання багатьох важливих результатів сучасної теорії чисел . Давид Гільберт в своїй доповіді «Математичні проблеми» на II Міжнародному конгресі математиків (1900) зазначив, що пошук докази для цієї, здавалося б, малозначимой теореми привів до глибоких результатами в теорії чисел [5] . У 1908 році німецький любитель математики Вольфскель заповідав 100 тис. німецьких марок тому, хто доведе теорему Ферма. Однак після Першої світової війни премія знецінилася .

У 1980-х роках з'явився новий підхід до вирішення проблеми. з гіпотези Морделла , доведеною Герд Фалтінгс в 1983 році , Випливає, що рівняння a n + b n = c n {\ displaystyle a ^ {n} + b ^ {n} = c ^ {n}} У 1980-х роках з'явився новий підхід до вирішення проблеми при n> 3 {\ displaystyle n> 3} може мати лише кінцеве число взаємно простих рішень.

німецький математик Герхард Фрай [En] припустив, що Велика теорема Ферма є наслідком гіпотези Таніями - Сімура . Це припущення було доведено Кеном Рібет [En] [6] .

Останній важливий крок в доведенні теореми був зроблений Уайлсом у вересні 1994 року . Його 130-сторінковий доказ було опубліковано в журналі « Annals of Mathematics » [7] .

Перший варіант свого докази Уайлс опублікував в 1993 році (Після семи років роботи), але в ньому незабаром був виявлений серйозний [ який? ] Пробіл, який за допомогою Річарда Лоуренса Тейлора вдалося досить швидко усунути [8] . В 1995 році був опублікований завершальний варіант [9] . У 2016 році за доведення Великої теореми Ферма Ендрю Уайлс отримав Абелівської премію [10] .

Колін Мак-Ларт зазначив, що, можливо, доказ Уайлса вдасться спростити, щоб не припускати існування так званих «великих кардиналів » [11] [12] .

Теорема Ферма також тривіально випливає з abc-гіпотези , Про доведення якої заявив японський математик Сін'їті Мотідзукі ; його доказ відрізняється винятковою складністю. В даний час в математичному співтоваристві немає ясного консенсусу щодо його робіт [13] .

Деякі варіації і узагальнення

Одна з гіпотез , висунутих Ейлером Бонапарт (1769 рік), стверджувала, що рівняння a 4 + b 4 + c 4 = d 4 {\ displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} = d ^ {4}} Одна з гіпотез , висунутих Ейлером Бонапарт (1769 рік), стверджувала, що рівняння a 4 + b 4 + c 4 = d 4 {\ displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} = d ^ {4}} не має натуральних рішень a, b, c, d не має натуральних рішень a, b, c, d. {\ Displaystyle a, b, c, d.} Тільки в наші дні, за допомогою потужних комп'ютерів, вдалося знайти контрприклади, які спростовують гіпотезу. У 1988 році Ноам Елкіс виявив наступне рішення [14] :

2682440 4 + 15365639 4 + 18796760 4 = 20615673 4. {\ Displaystyle 2682440 ^ {4} + 15365639 ^ {4} + 18796760 ^ {4} = 20615673 ^ {4}.} 2682440 4 + 15365639 4 + 18796760 4 = 20615673 4

Пізніше були знайдені й інші рішення; найпростіше з них:

95800 4 + 217519 4 + 414560 4 = 422481 4. {\ Displaystyle 95800 ^ {4} + 217519 ^ {4} + 414560 ^ {4} = 422481 ^ {4}.} 95800 4 + 217519 4 + 414560 4 = 422481 4

Ще одним популярним узагальненням теореми Ферма є гіпотеза Била , Сформульована в 1993 році американським математиком-любителем, котрий пообіцяв за її доказ або спростування 1 млн доларів США.

«Ферматістов»

Простота формулювання теореми Ферма (доступна в розумінні навіть школяреві), а також складність єдиного відомого докази (або незнання про його існування), надихають багатьох на спроби знайти інше, більш просте, доказ. Людей, які намагаються довести теорему Ферма елементарними методами, називають «ферматістов» або «ферматікамі». [15] Ферматістов часто не є професіоналами і допускають помилки в арифметичні дії або логічних висновках , Хоча деякі представляють досить витончені «докази», в яких важко знайти помилку.

Доводити теорему Ферма в середовищі любителів математики було настільки популярно, що в 1972 році журнал «Квант» , Публікуючи статтю про теорему Ферма, супроводжував її наступною припискою [15] : «Редакція" Кванта "зі свого боку вважає за необхідне повідомити читачів, що листи з проектами доказів теореми Ферма розглядатися (і повертатися) не будуть».

німецькому математику Едмунда Ландау дуже докучали «ферматістов». Щоб не відволікатися від основної роботи, він замовив кілька сот бланків з шаблонним текстом, який повідомляє, що на певній рядку на деякій сторінці знаходиться помилка, при цьому знаходити помилку і заповнювати прогалини в бланку він доручав своїм аспірантам.

Примітно, що окремі ферматістов домагаються публікації своїх (невірних) «доказів» в ненауковою пресі, яка роздмухує їх значення до наукової сенсації [16] [17] . Втім, іноді такі публікації з'являються і в поважних наукових виданнях [18] , Як правило, з подальшими спростуваннями [19] . Серед інших прикладів:

  • Брошура В. І. Будкина, видана в Ярославлі під назвою «Методика пізнання" істини ". Доказ Великої теореми Ферма »(47 с., 5000 прим., Верхньо-Волзьке книжкове видавництво, 1975 ) [20] .
  • Книга Л. Ш. Райхеля «Велика теорема», видана в Ленінграді в 1990 році [21] .
  • Свідоцтво про реєстрацію авторських прав на твір «доказ теореми Ферма», видане Міністерством освіти і науки України Л. В. Шаповалової та Г. А. Середкин. Документ не засвідчує будь-яким чином правильність докази, а лише реєструє авторські права на поданий до Міністерства освіти і науки друкована праця; на це міністерство покладено обов'язок ведення реєстру таких свідоцтв

    Велика теорема Ферма стала символом запеклій наукової проблеми і в цій якості часто згадується в белетристиці. Далі перераховані деякі твори, в яких теорема не просто згадана, але є істотною частиною сюжету або ідеології твори.

    • В оповіданні Артура Порджес «Саймон Флегг і диявол» [23] професор Саймон Флегг звертається за доведенням теореми до диявола. За цим оповіданням знятий ігровий науково-популярний фільм « Математик і чорт »(СРСР, тисячі дев'ятсот сімдесят дві , Виробництво Центрнаучфільм, творче об'єднання «Райдуга», режисер Райтбурт ). [24]
    • А. П. Казанцев в романі «Найгостріше шпаги» в 1983 році запропонував оригінальну версію відсутності докази самого П'єра Ферма.
    • У телесеріалі « Зоряний шлях »Капітан космічного корабля Жан-Люк Пікар був спантеличений розгадкою Великої теореми Ферма в другій половині XXIV століття . Таким чином, творці фільму припускали, що рішення у Великої теореми Ферма не буде в найближчі 400 років. серія « рояль »З цим епізодом була знята в 1989 році , коли Ендрю Уайлс був на самому початку своїх робіт. Насправді рішення було знайдено всього через п'ять років.
    • У присвяченій Хеллоуїну 1995 року серії « Сімпсонів »Двовимірний Гомер Сімпсон випадково потрапляє в третій вимір. Під час його подорожі в цьому дивному світі в повітрі ширяють геометричні тіла і математичні формули, включаючи неправильне рівність 1782 12 + 1841 12 = 1922 12 {\ displaystyle 1 782 ^ {12} + 1 841 ^ {12} = 1922 ^ {12}} . Калькулятор з точністю не більше 10 значущих цифр підтверджує це рівність: 1782 12 + 1841 12 = 2 541 210 258 614 589 176 288 669 958 142 428 526 657 ≈ 2,541 210 259 ⋅ 10 39, 1922 12 = 2 541 210 259 314 801 410 819 278 649 643 651 567 616 ≈ 2,541 210 259 ⋅ 10 39. {\ Displaystyle {\ begin {array} {cl} тисячу сімсот вісімдесят два ^ {12} + один тисяча вісімсот сорок один ^ {12} & = 2 \, 541 \, 210 \, 258 \, 614 \, 589 \, 176 \, 288 \, 669 \, 958 \, 142 \, 428 \, 526 \, 657 \ approx 2 {,} 541 \, 210 \, 259 \ cdot 10 ^ {39}, \\ 1 922 ^ {12} & = 2 \, 541 \ , 210 \, 259 \, 314 \, 801 \, 410 \, 819 \, 278 \, 649 \, 643 \, 651 \, 567 \, 616 \ approx 2 {,} 541 \, 210 \, 259 \ cdot 10 ^ {39}. \ end {array}}}
    Проте, навіть без обчислення точних значень легко бачити, що рівність невірно: ліва частина - непарне число , А права частина - парне.
    • У першому виданні « мистецтва програмування » Дональда Кнута теорема Ферма наведена в якості вправи з математичним ухилом на самому початку книги і оцінена максимальним числом (50) балів, як «дослідницька проблема, яка (наскільки це було відомо автору в момент написання) ще не отримала задовільного рішення. Якщо читач знайде рішення цього завдання, його вимагають опублікувати його; крім того, автор даної книги буде дуже вдячний, якщо йому повідомлять рішення якомога швидше (за умови, що воно правильно) ». У третьому виданні книги цю вправу вже вимагає знань вищої математики і оцінюється лише в 45 балів.
    • У книзі Стіга Ларссона « Дівчина, яка грала з вогнем » [25] головна героїня Лісбет Саландер, що володіє рідкісними здібностями до аналітики і фотографічною пам'яттю, як хобі зайнята доказом Великої теореми Ферма, на яку вона натрапила, читаючи фундаментальну працю «Вимірювання в математиці», в якому наводиться і доказ Ендрю Уайлса. Лісбет не хоче вивчати готове доказ, а головним інтересом стає пошук власного рішення. Тому весь свій вільний час вона присвячує самостійного пошуку «чудового докази» теореми великого француза, але раз по раз заходить в глухий кут. В кінці книги Лісбет знаходить підтвердження, яке не тільки абсолютно відмінно від запропонованого Уайлсом, але і є настільки простим, що сам Ферма міг би його знайти. Однак після поранення в голову вона його забуває, і Ларссон не приводить ніяких подробиць цього докази.
    • Мюзикл «Останнє танго Ферма», виданий інститутом Клея , Створений в 2000 році Джошуа Розенблюм ( англ. Joshua Rosenblum ) І Джоан Лесснер за мотивами реальної історії Ендрю Уайлса. Головний герой на ім'я Деніел Кін завершує доведення теореми, а дух самого Ферма намагається йому перешкодити [26] .
    • За кілька днів до своєї смерті
      1. ↑ Ферма теорема // Математична енциклопедія (в 5 томах) . - М.: Радянська Енциклопедія , 1985. - Т. 5.
      2. ↑ Diophantus of Alexandria. Arithmeticorum libri sex, et de numeris multangulis liber unus. Cum commentariis CG Bacheti VC & observationibus DP de Fermat senatoris Tolosani. Toulouse, 1670, pp. 338-339.
      3. ↑ 1 2 Fermat a Carcavi. Aout 1659. Oeuvres de Fermat. Tome II. Paris: Tannery & Henry, 1904, pp. 431-436.
      4. ↑ Ю. Ю. Мачис. Про передбачуваний доказі Ейлера // Математичні замітки. - 2007. - Т. 82, № 3. - С. 395-400. Англійська переклад: JJ Mačys (2007). "On Euler's hypothetical proof" . Mathematical Notes. 82 (3-4): 352-356. DOI : 10.1134 / S0001434607090088 . MR : 2364600 .
      5. ↑ Давид Гільберт. математичні проблеми :
      6. ↑ Соловйов Ю.П. Гіпотеза Таніями і остання теорема Ферма // Соросівський освітній журнал . - ISSEP, 1998. - Т. 4, № 2. - С. 135-138.
      7. ↑ Wiles, Andrew (1995). "Modular elliptic curves and Fermat's last theorem" . Annals of Mathematics. 141 (3): 443-551. (Англ.)
      8. ↑ Taylor, Richard & Wiles, Andrew (1995). "Ring theoretic properties of certain Hecke algebras" . Annals of Mathematics. 141 (3): 553-572. Статичний з оригіналу 2001-11-27. архівна копія від 27 листопада 2001 року на Wayback Machine (Англ.)
      9. ↑ Стіллвелл Д. Математика і її історія. - Москва - Іжевськ: Інститут комп'ютерних досліджень, 2004. - С. 199-200.
      10. ↑ Абелівської премію отримає британець, який довів Велику теорему Ферма
      11. ↑ Colin McLarty. What does it take to prove Fermat's last theorem? Grothendieck and the logic of number theory // Bulletin of Symbolic Logic. - 2010. - Т. 16, № 3. - С. 359-377.
      12. ↑ Fermat's Last Theorem and more can be proved more simply
      13. ↑ David Michael Roberts. A Crisis of Identification // Inference. - 2019. - Vol. 4, no. 3.
      14. ↑ Наварро, Хоакін. Невловимі ідеї і вічні теореми. Великі завдання математики. - М.: Де Агостіні, 2014. - С. 84. - 160 с. - (Мир математики: в 45 томах, тому 25). - ISBN 978-5-9774-0720-5 .
      15. ↑ 1 2 Гаст Ю., Смілянський М. Кілька слів про Великої теореми Ферма // Квант . - 1972. - Т. 8. - С. 23-25.
      16. ↑ Теоремою - по ракетам!
      17. ↑ Людство може розслабитися?
      18. ↑ Людство може розслабитися . сайт Російської академії наук .
      19. ↑ Теорема Ферма довела, що спроби довести її не припиняться ніколи . сайт Російської академії наук .
      20. ↑ Піонери.
      21. ↑ Лазар Шлемовіч Райхель. Велика теорема: (Повість) [Про вчителя фізики Л. Г. Марголін] / Л. Райхель - Л .: Б. м. Б. і. 252 с., 1990. (обл. 1991)
      22. ↑ Постанова Кабінету міністрів України від 27.12.2001 р N +1756 «Про державну реєстрацію авторського права ...».
      23. ↑ A. Porges (1954). "Devil and Simon Flagg". The Magazine of Fantasy and Science Fiction. NY. . Російський переклад: Порджес А. Саймон Флегг і диявол // Квант . - 1972. - Т. 8. - С. 17-22. ( альтернативна посилання )
      24. ↑ Ігровий науково-популярний фільм «Математик і чорт» (СРСР, тисячі дев'ятсот сімдесят дві режисер Райтбурт ). (Альтернативна посилання: [1] )
      25. ↑ У 2010 році книга вийшла російською мовою у видавництві «Ексмо», в оригіналі назва «Flickan som lekte med elden», в англійському перекладі «The girl who played with fire».
      26. ↑ Fermat's Last Tango

      література

      Російською

      • Абрар Д. Теорема Ферма: феномен доказів Уайлса .
      • Альварес Л. Ф. А. Найскладніше завдання в світі. Ферма. Велика теорема Ферма // Наука. Найбільші теорії. - М.: Де Агостіні, 2015. - Вип. 18. - ISSN 2409-0069 .
      • Віоланта-і-Хольц, Альберт. Загадка Ферма. Трёхвековой виклик математики. - М.: Де Агостіні, 2014. - 151 с. - (Мир математики: в 45 томах, том 9). - ISBN 978-5-9774-0625-3 .
      • Кірсанов Ф. Історія Великої Теореми Ферма .
      • Манін Ю. І., Панчішкін А.А. Введення в сучасну теорію чисел. - М.: МЦНМО 2009.
      • Постніков М. М. Введення в теорію алгебраїчних чисел. - М.: Наука, 1982. Основна тема книги - остання теорема Ферма.
      • Рібенбойм П. Остання теорема Ферма для любителів. - М.: світ , 2003.
      • Сингх С. Велика теорема Ферма . - М.: МЦНМО , 2000..
      • Хинчин А.Я. Велика теорема Ферма. - 3-е изд. - М.: ОНТИ, 1934.
        • Donald C. Benson. The Moment of Proof: Mathematical Epophanies. - Oxford University Press, 1999. - ISBN 0-19-513919-4 .
        • Faltings, Gerd (1995). The Proof of Fermat's last theorem by R. Taylor and A. Wiles , Notices of the AMS (42) (7), 743-746.
        • Daney, Charles (2003). The Mathematics of Fermat's last theorem . Retrieved Aug. 5, 2004.
        • O'Connor, JJ & and Robertson, EF (1996). Fermat's last theorem. The history of the problem . Retrieved Aug. 5, 2004.
        • Shay, David (2003).

What does it take to prove Fermat's last theorem?