"Аналітичні та геометричні узагальнення кривих II порядку" (урок-лекція в 9-му профільному класі)

розділи: Математика

Мета математичної освіти: розвиток навичок оперування з числами і фігурами, просторової уяви, логічного мислення - словом, розвиток інтелекту. Ніщо не може сприяти цьому краще, ніж математика, тому система роботи вчителя повинна бути спрямована на розвиток учнів: їх світогляду, креативних здібностей, пізнавальної активності. Навчання для всіх має бути цікавим, захоплюючим, але особливо значущим для тих, хто дійсно відчуває задоволення від пошуку істини, від краси самої математики. Викладання її в профільних класах або поглиблене вивчення в класах фізико-математичної спрямованості змушують вчителя постійно переглядати арсенал засобів навчання і виховання, вибираючи найбільш ефективні форми.

На особливу увагу заслуговує система узагальнюючих лекцій з основних тем курсів "Алгебра" та "Геометрія", які необхідні для цілісного сприйняття математичних знань. Урок-лекція - це, перш за все, залучення школярів до дослідницької діяльності на навчальному матеріалі. Підготовлено та проведено він повинен бути так, щоб, з одного боку, був забезпечений науковий рівень, що викладається, а з іншого боку, його доступність. Шкільна лекція має свою структуру, в ній зазвичай виділяються три частини: вступ, основна і заключна частини ". Кожна частина має свою задачу і способи її вирішення. Вступна частина виконує кілька функцій: а) зацікавити учнів і створити позитивний емоційний настрій; б) показати значимість теми і висунути проблеми; в) встановити логічні зв'язки з вивченим матеріалом і тим, що буде розглядатися. Основна частина включає: а) теоретичні положення з докладними доказами; б) практичні завдання, що підтверджують їх. У процесі роботи створюється широке інформаційне поле, роль вчителя - включити учнів в активне слухання, розуміння, що спонукає критично мислити, аналізувати, робити самостійні висновки і узагальнення, а також відповідні записи.

Очевидні наступні вимоги до шкільної лекції:

1. Лекція повинна бути цікавою і для учнів, і для вчителя.
2. Її науковий рівень повинен відповідати рівню розвитку учнів.
3. Важливо, щоб лекція була навчальної, розвиваючої і виховує.
4. Тема лекції природним чином випливає з раніше вивченого, і бути траєкторією до чого.
5. Лекція повинна бути ємною, цілісної, розмірної, ритмічної, грунтовної.
6. Головні думки потрібно повторити кілька разів, виписати акуратно на дошці і законспектувати.

Пропоную конспект узагальнюючих лекцій в 9 фізико-математичному класі, які проводяться після вивчення тим "Рівняння з двома змінними та його графік" в курсі "Алгебра" та "Коло Аполлонія. Еліпс. Гіпербола. Парабола. "В курсі" Геометрія ".

Тема лекції: Аналітичні та геометричні узагальнення кривих II-го порядку (на прикладі еліпса, гіперболи, параболи).

методична карта

Предмет - Геометрія

Клас - 9

Профіль - фізико-математичний

Учитель - Волкова Олена Михайлівна, вчитель математики ЦООД "Елістінскій ліцей"

цілі:

освітня:

Розвиваюча: розширити і поглибити вивчення різних видів кривих, відповідних загальному рівняння кривих II-го порядку, різноманітними методами.

Виховна: показати значимість досліджуваної теми на стику двох розділів математики алгебри і геометрії, їх широку застосовність в кресленні, фізики, інформатики.

Використовувані методи навчання - Їх застосування

• Пояснювально-ілюстративний - Побудова кривих II-го порядку.
• Узагальнення, аналогії та порівняння - Аналіз загального рівняння кривих II-го порядку.
• УДЕ - Створення ключових завдань, аналогія зображень на площині і просторі.
• Інтегрований - Зіставлення розділів алгебри і геометрії.

Формування загальнонавчальних умінь і навичок:

• Виділення істотних ознак досліджуваних об'єктів на основі аналізу і порівняння.
• Вироблення практичних навичок побудови правильних естетичних креслень.
• Використовувані методи роботи з аудиторією: робота в діалоговому режимі.
• Психологічні аспекти уроку
• Створення комфортної робочої атмосфери;
• Спонукання до активної діалогової діяльності.

Вступ

У математичній літературі нерідко зустрічаються завдання з формулюванням: "Побудуйте графік рівняння ...", "Яку фігуру задає на координатної площині графік рівняння ..." і т.д. Зокрема, якщо крапки заповнити рівнянням першого ступеня з двома змінними виду ax + by + c = 0, де хоча б один з коефіцієнтів a або b відмінний від нуля, то його графіком є ​​пряма, а якщо рівнянням виду (xa) 2+ ( yb) 2 = R2, то окружність з центром в точці з координатами (a; b) і радіусом R.

Поставимо задачу: З'ясувати, яким може бути графік рівняння з двома змінними другого ступеня загального вигляду, тобто ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, де хоча б один з коефіцієнтів a, b або c відмінний від нуля. Або точніше, які геометричні образи йому відповідають?

Таким чином, ми сформулюємо тему лекції: "Аналітичні та геометричні узагальнення кривих II-го порядку (на прикладі еліпса, гіперболи, параболи)".

Позначимо основні проблеми:

• узагальнення визначень канонічних рівнянь кривих II порядку;
• способи побудови еліпса і гіперболи методом рівномірного стиснення;
• розпізнавання ліній другого порядку по їх рівняннях.

Для їх досягнення мети необхідно вибрати певну стратегію, вважаю найбільш прийнятною - інтегрування (синтез) розділів алгебри і геометрії.

I етап - Погляд в історію.

"Чудові криві"

Давньогрецькі вчені знали лише кілька ліній, відмінних від прямих і кіл; більшість з них вони вивчали в зв'язку з трьома знаменитими завданнями давнини: про подвоєння куба, про трисекции кута і про квадратуру кола. Що дійшла до нас давня легенда свідчить: "Під час страшної епідемії чуми дельфійського оракула запитали, як умилостивити богів, щоб вони стримали свою лють. Відповідь свідчив, що невдоволення богів викликано розмірами вівтаря, на якому приносять жертви, боги вимагають звести новий вівтар, вдвічі більшого обсягу ". Старий вівтар мав форму куба. Один неосвічений поет вирішив, що досить збільшити всі його розміри в два рази, щоб воля богів виявилася здійсненним, він навіть оспівав у своїй поемі новий вівтар. Над невіглаством стіхоплету сміялися всі, оскільки древнім грекам було добре відомо, що якщо сторону куба збільшити в два рази, то його обсяг зросте в вісім разів.

Якщо позначити сторону старого куба через 1, а нового - через х, то їх обсяги дорівнюють відповідно 13 і х3. "Воля богів" полягала в тому, щоб знайти таке х, при якому , Тобто . Спроби вчених вирішити делосской завдання за допомогою циркуля і лінійки, тобто побудувати відрізок, довжина якого дорівнює , До успіху не привели, бо вони користувалися методом геометричних місць, тобто описували умови, при яких безліч точок утворюють потрібну криву. Ці теоретичні рішення сприймалися із захопленням, оскільки вимагали величезного розумової праці.

Повне рішення цього завдання виявилося можливим тільки в IV ст. до н.е. Геометр Менех запропонував використовувати для цієї мети конічні перетину.

Розглянемо конуси обертання трьох типів в залежності від величини кута при вершині конуса: тупого, прямого і гострого, при цьому січну площину станемо направляти перпендикулярно утворює. Тоді в першому випадку ми отримаємо криву - гіперболу, в другому - параболу, в третьому - еліпс. ( Див. Рис.1 ).

Сучасні школярі легко вирішують делосской завдання за допомогою параболи і гіперболи, рівняння яких їм добре відомі. Якщо сторону удваемого куба прийняти за 1, то вибравши найпростіші рівняння параболи у = х2 і гіперболи . склавши рівняння , отримаємо . наочно ( Див. Рис.2 ) Це означає, що абсциса точки перетину даних кривих є довжиною шуканого відрізка, тобто стороною подвоєного куба.

Основна частина

II етап - "Криві другого порядку, їх аналоги в просторі".

В геометрії ми познайомилися з канонічними рівняннями параболи ,

еліпса , гіперболи ,

використовуючи метод координат в з'єднанні з алгеброю. Цей розділ геометрії називається аналітичної геометрії. Її творцями є знамениті французькі вчені Рене Декарт (1596 - 1650) і П'єр Ферма (1601 - 1665).

Еліпс, гіпербола і парабола мають багато спільних або дуже схожих властивостей.

Сформулюємо і доведемо загальне твердження: Безліч точок М, ставлення відстаней яких до прямої l і точки F, де , Так само постійному числу k, є:

Доведення. Введемо систему координат, F (0; h) Oy, l || Ox.

За визначенням рівняння безлічі точок М має вигляд

(*)

нехай , Тоді рівняння (*) набуде вигляду , Де далі

- парабола.

нехай . В цьому випадку маємо ;

отримали:

. покладемо .

отримаємо:

Порівняємо рівняння (2) і (3) з канонічними рівняннями еліпса і гіперболи.

Питання: Яке перетворення переводить рівняння (2) і (3) в (1)?

Відповідь: Перетворення паралельного перенесення, а в рівнянні гіперболи ще необхідно поміняти х на у.

III етап - Лінії другого порядку як результат геометричних перетворень

Спорідненість між цими кривими має алгебраїчне пояснення: все вони задаються рівняннями другого ступеня. У будь-якій системі координат рівняння цих кривих мають вигляд: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, де a, b, c, d, e, f - числа, причому і саме в такому вигляді пропонують побудувати графіки деяких рівнянь (в алгебрі), а спростити цей досить трудомісткий процес допомагає метод перетворення координат.

Отже, реалізуємо ідею "Побудова еліпса за допомогою геометричного перетворення кола" (шляхом її рівномірного стиснення і паралельного перенесення).

Робота з учнями в діалоговому режимі.

Учитель (задає питання, домагається вірних відповідей, виконує креслення на дошці) Учні (заповнюють конспект, відповідають на питання) Задайте і покажіть в декартовій системі координат з центром в початку координат і радіусом R. x2 + y2 = R2 Проведіть рівномірне стиснення цієї окружності до вертикального діаметру з коефіцієнтом k> 0. В процесі роботи виникають питання Які прийме рівняння кола? (Необхідно домогтися відповіді) kx2 + y2 = R2 Як називається лінія, що задається даними рівнянням? еліпс Зобразіть еліпс при k> 1, 0 <k <1. працюють в конспектах.

На слайді, в конспектах з'являються малюнки

Які властивості еліпса можна виділити? а) центрально-симетрична фігура щодо координатних осей, має дві осі;

б) навколо нього описується прямокутник, який є результатом стиснення квадрата, описаного навколо кола - це осьової прямокутник еліпса зі сторонами

Звідси:

Щоб зобразити еліпс, треба навчитися будувати осьової прямокутник

Приклад 1: Накреслити графік рівняння а) x2 + 4y2 = 9; б) 3x2 + y2 = 7.

Запишемо рівняння у вигляді:

Випишемо основні характеристики:

Побудуємо осьової прямокутник зі сторонами

Изображаем еліпс

Він отриманий рівномірним "стисненням" окружності

до осі ОХ до осі ОУ

Приклад 2. Якщо центр еліпса знаходиться не на початку координат, але його осі паралельні координатним осях, то він задається рівнянням , Де С (а; в) - його центр. зобразити еліпс .

Маємо, С (5; -4) - центр еліпса. Його основні характеристики: , Сторони осьового прямокутника 4 і 6. Будуємо еліпс. ( Див. Рис.3 )

Продовжимо реалізацію ідеї.

З'ясуємо, що представляє собою графік рівняння .

Перепишемо рівняння у вигляді (х-у) (х + у) = l і введемо нові змінні , Тоді в системі координат (u, v) (де u - вісь абсцис, v - вісь ординат), рівняння набуде вигляду - це гіпербола, розташування гілок якої визначається знаком числа l.

З'ясуємо, як розташовані осі системи координат (u, v) в координатної площини (х, у).

Вісь абсцис OU - це безліч точок, для яких v = 0, тобто х + у = 0, у = х.

Вісь ординат OV - це безліч точок, для яких u = 0, тобто х-у = 0, у = х.

Значить, осі системи (u, v) - це бісектриси координатних кутів.

Знайдемо їх напрямок. На осі OU виберемо точку А (1; -1), тоді u = 1 - (- 1) = 2> 0, тобто належить позитивної півосі.

Далі, В (1; 1) OV. v = 1 + 1> 0, теж належить позитивної півосі.

Отже, перетворення переводить систему координат (х, у) в систему (u, v), осі якої повернені на кут - 450, при цьому рівняння набирає вигляду , Що рівносильно (При u = 0 маємо xy = o і значить l = 0), тобто отримано зображення гіперболи.

- Точки перетину гіперболи з осями координат називаються вершинами гіперболи. (При у = 0 маємо х 2 = l, значить l> 0 і . При х = 0 маємо у2 = -l, значить l <0 і ), Тобто - координати вершин гіперболи).

- Прямі у = х і у = -х називаються асимптотами гіперболи.

- Якщо в вершинах гіперболи провести дотичні, то вони перетнуть її асимптоти в точках, які будуть вершинами квадрата. (Маємо ). Назвемо цей квадрат осьовим, а гіперболу равнобокой. На слайді, в конспектах з'являються малюнки:

Приклад 3. Побудувати графік рівняння .

Зауважимо, що l = 8> 0, значить, вершини гіперболи лежать на осі ОХ і мають координати і , Осьової квадрат зі стороною , Виберемо додаткові точки х = 4, у = , Скористаємося симетрією.

Робота з учнями в діалоговому режимі

На слайді, в конспектах з'являються малюнки

В якості самостійного завдання: Побудувати гіперболу по її рівняння .

IV Етап. Розпізнавання ліній другого порядку по їх рівняннях.

Постановка проблемного питання: Розглянемо канонічні рівняння еліпса, гіперболи і параболи (1): після виконання перетворень, перенесення всіх доданків в ліву частину ми отримаємо рівняння такого вигляду:

(*).

Часто доводиться відповідати на питання: "Яка фігура є графіком рівняння?"

Його реалізація:

Найприроднішою і корисною схемою перетворення рівняння (*) є виняток повного квадрата по одній або двом змінним. Завдання: За даним рівнянням визначити вид графіка.

Висновок: Загальне рівняння другого порядку з двома змінними ах2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, де A2 + B2 + C2 0 подає такі безлічі точок площини:

Еліпс Гіпербола Парабола при , , F = -1, B = D = E = 0 при , , F = -1, B = D = E = 0 при C = 1, D = -2p, A = B = E = F = 0 Пара пересічних прямих Дві паралельні прямі Пара збіглися прямих a2x2-b2y2 = 0 при A = a2, C = -b2, B = D = E = F = 0 y2-a2 = 0 при C = 1, F = -a2, A = B = D = E = 0 y2 = 0 при C = 1, A = B = D = E = F = 0 Точка Порожня множина Порожня множина a2x2 + b2y2 = 0 при A = a2, C = b2, B = D = E = F = 0 при , , F = 1, B = D = E = 0 y2 + a2 = 0 при C = 1, F = a2 0, A = B = D = E = 0

висновок

Математики мають звичай вивчати речі, що здаються абсолютно безглуздими, але проходять століття і ці дослідження набувають величезну наукову цінність. Навряд чи можна знайти кращий приклад цього, ніж дослідження древніми греками кривих другого порядку. Аж до XVII століття їх дослідження не мали практичного застосування, але саме до цього часу був винайдений метод координат. Декарт, відкривши його, сказав: "Я вирішив всі завдання", маючи на увазі геометричні завдання свого часу. Саме переводячи геометричні поняття на мову координат, ми отримуємо можливість розглядати алгебраїчні. Наочний приклад - завдання про окружності Аполлонія: "Знайти геометричне місце точок М, ставлення відстаней яких до даних точок А і В, постійно". Її геометричне рішення поміщено в трактаті "Про колах" (II століття до н.е.) і воно досить складно, а якщо її перевести на мову координат, рішення зовсім доступно.

Інтерес до конічних перетинах особливо зріс після того, як Галілей встановив, що тіло, кинуте під кутом до горизонту, рухається по параболі, і Кеплер сформулював закони руху планет, згідно з якими вони описують еліпси.

Вивчення кривих другого порядку дало поштовх розвитку теорій алгебраїчних і механічних кривих: лемніскати, конхоїда, циклоїди, епіциклоїда, гіпоціклоіди, кардіоїди і т.д. Вивчення цих кривих, їх властивостей можуть вилитися в цікаві учнівські дослідні роботи.

Пропонується додаткова література:

1. Васильєв Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямі та криві. Вид-во "Наука"., М. - 1970. Наступні
2. Гельфанд І.М., Глаголєва Є.Г., Кирилов А.А. Метод координат. Вид-во "Наука"., М. - 1970. Наступні

13.02.2007